Fonction \(k\)-lipschitzienne \(f:E\to F\) sur \(E\)
Fonction qui admet en tout point \(\omega:s\mapsto ks\) comme Module de continuité : $$\forall x,y\in E,\quad d(f(x),f(y))\lt kd(x,y)$$

• une fonction lipschitzienne est aussi uniformément continue, et donc continue
• on dit qu'une fonction est contractante si elle est lipschitzienne de rapport \(k\lt 1\)

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de fonction uniformément continue, mais pas lipschitzienne.
Verso: La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) sur \([0,1]\).
Bonus:
END

Montrer que la fonction \(x\mapsto\sqrt x\) n'st pas lipschitzienne sur \([0,1]\).

Absurde
On procède par l'absurde, on suppose que $$\forall x,y\in [0,1],\quad \lvert \sqrt x-\sqrt y \rvert\lt k\lvert x-y\rvert$$

Regrouper
Si on prend \(x\ne y\), on a alors : $$\left|\frac{\sqrt x-\sqrt y}{x-y}\right|\lt k$$

Simplifier via identité remarquable
Ce qui nous donne, en utilisant \(x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)\) : $$\frac1{\sqrt x+\sqrt y}\lt k$$

Passer à la limite : ça ne devrait pas être borné

Or, en prenant \(x=0\) et \(y\to x\), on a \(\lim_{y\to0}\frac1{\sqrt y}\lt k\), ce qui est absurde.

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Si \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) est continue, comment peut-on savoir si elle est \(k\)-lipchitzienne ?
Verso: D'après le Théorème des accroissements finis, il suffit de vérifier si $$\lvert f^\prime\rvert\leqslant k.$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END